Empleo de criterios de fractura dúctil para predecir el fallo en el conformado plástico de chapas

La industria moderna y competitiva exige un mejor conocimiento y diseño de sus procesos y productos. Actualmente existe una tendencia generalizada hacia la simulación y optimización de los procesos industriales, entre los que se encuentran los procesos de conformado de chapa. Una de las herramientas básicas para satisfacer esta demanda es el empleo de técnicas numéricas y el desarrollo de criterios fiables para la predicción el fallo en los productos de chapa. El presente trabajo examina la capacidad de diferentes criterios de fractura dúctil para predecir el fallo en los procesos de conformado plástico de chapa. Entre los criterios explorados están los propuestos por Cockcroft y Latham, Brozzo et al., Oyane et al. y Chaouadi et al.. Asímismo, se propone un nuevo criterio que surge como una modificación del criterio de Freudenthal para incluir el efecto de la presión hidrostática en el fallo. Para estos criterios, se analiza no sólo su bondad para predecir el instante y zona de fallo, sino su capacidad para reproducir el proceso físico de fallo de acuerdo con la evidencia experimental.

En los últimos años la creciente demanda de la industria de automoción y aeronáutica por el desarrollo de nuevos productos con geometrías cada vez más complejas, así como el empleo de materiales cada vez más exigentes (más resistentes, más ligeros, etc.), ha traído un renovado interés por un mejor conocimiento de los fundamentos de los procesos de conformado de chapa. En términos generales, el factor limitante de cualquier proceso de conformado de chapa es el fallo de ésta. Entendiendo por fallo de la chapa cualquier evento que la inutilice. Entre ellos se pueden citar el desgarro localizado de la chapa, la fractura dúctil y el arrugamiento por pandeo local. El más comúnmente observado en la práctica es el fallo por desgarro, el cual es consecuencia de la inestabilidad plástica que aparece en determinadas zonas de la chapa en las que se produce un adelgazamiento o estricción localizada del espesor de la misma. Recientemente, para evaluar y predecir el fallo de la chapa, se están empleando diferentes criterios de fractura dúctil en conjunción con el empleo del Método de los Elementos Finitos (MEF) para simular numéricamente el proceso de conformado [1,2].

En el presente trabajo se examina la capacidad de varios criterios de fractura dúctil, ampliamente usados en la práctica, para predecir y reproducir el proceso físico del fallo en procesos de conformado plástico de chapas. Así mismo se propone y se analiza un criterio alternativo de fallo, el cual surge de modificar el conocido criterio de Freudenthal para incluir el efecto de la tensión hidrostática en el proceso de fractura. Para centrar el estudio se ha realizado un modelo de Elementos Finitos (EF) del proceso de embutición de chapa axilsimétrico, empleando el paquete comercial de elementos finitos ANSYS. Sobre este proceso, se han implementado los diferentes criterios de fractura dúctil, analizándose el lugar donde estos predicen en fallo, el estado de tensiones y deformaciones en dicha zona, la Relación Límite de Embutición (RLE), etc. Los resultados de las simulaciones realizadas se han comparado con los resultados experimentales obtenidos por Takuda et al. [1] para chapas de diferentes aceros.

En la literatura científica existen una extensa variedad de criterios o modelos para predecir el fallo por fractura dúctil en materiales metálicos. En términos generales, dichos criterios pueden agruparse en tres categorías. La primera está formada por criterios basados en reglas puramente experimentales y/o semi-empíricas. La segunda categoría recoge aquellos métodos obtenidos de modelizar el proceso físico de fractura que se observa experimentalmente, esto es, simular el proceso de nucleación, de crecimiento y la posterior coalescencia de huecos que ocurre durante la fractura dúctil de los metales. Por último, el tercer grupo incluye aquellos criterios que predicen el fallo del material como resultado de la aparición de una inestabilidad o bifurcación en el flujo plástico.

En este trabajo se van a explorar cuatro criterios de fractura dúctil ampliamente conocidos: los clásicos criterios de Cockcroft y Latham [3] y Brozzo et al. [4], incluidos en la primera categoría, y los criterios de Oyane et al. [5] y Chaouadi et al.[6], pertenecientes al segundo grupo descrito. Estos criterios requieren conocer la historia de carga y de deformación que sufre el material durante todo el proceso, pudiendo expresarse en forma integral de la siguiente forma:

donde e^p representa la deformación plástica equivalente, e^p_f es la deformación plástica equivalente en el instante de la fractura, s es la tensión equivalente, s_h es la tensión hidrostática, s_I es la tensión principal máxima y los C_i (i=...6) son constantes del material a determinar experimentalmente. En la forma aquí presentada, los criterios expuestos predicen que el fallo del material por fractura dúctil se produce cuando el valor de la integral (término izquierdo de la igualdad) alcanza un valor igual a la unidad.

Alternativamente a los criterios anteriores presentados, se va a proponer en este trabajo un nuevo criterio semi-empírico basado en una modificación del clásico criterio Freudenthal. El criterio de Freudenthal establece que la fractura se inicia cuando el trabajo plástico por unidad de volumen en un determinado punto del material alcanza un cierto valor crítico. Dicho modelo ha sido empleado con éxito para predecir el fallo en procesos de deformación plástica global [5]. No obstante, cuando se aplica a procesos de conformado de chapa su comportamiento no ha sido nada satisfactorio [2]. Entre las causas argumentadas para explicar este hecho, la aceptada es que el criterio original de Freudenthal no incluye el efecto de la tensión hidrostática en el proceso de fractura dúctil. Es bien conocido que mientras que la tensión hidrostática no tiene una repercusión apreciable en el proceso de plastificación, durante la fractura dúctil es todo lo contrario, favoreciendo decisivamente la fase de crecimiento de cavidades y contribuyendo con ello a acelerar el proceso fractura. Para tener en cuenta este efecto, se propone aquí incluir en la expresión del trabajo plástico un término extra que dependa de la tensión hidrostática. La forma más simple que se plantea seguidamente es una dependencia lineal, quedando el nuevo criterio de la forma:

(5)

donde C₇ y C₈ y son constantes del material. En lo que sigue, y por simplicidad, nos referiremos a dicho criterio como criterio del Trabajo Plástico Modificado (criterio TPM).

Con el fin de analizar y comparar los distintos criterios de fallo se ha realizado un modelo 2D de elementos finitos de un proceso axilsimétrico de embutición de chapa. Se ha empleado el programa de EF de propósito general ANSYS [8]. El modelo propuesto se ha centrado en reproducir los experimentos realizados por Takuda et al. [2]. La Figura 1 muestra la geometría del punzón y de la matriz. Se han modelado cuatro radios de punzón diferentes: 2, 4, 8 y 20 mm (semiesférico). Para las sucesivas simulaciones, las preformas de partida han sido chapas circulares de diferentes diámetros.

Figura 1. Dimensiones del modelo de embutición 2D

El modelo de EF desarrollado realiza una descripción Lagrangiana, empleando una formulación con grandes deformaciones dada la fuerte no linealidad del problema, debida principalmente al comportamiento plástico del material y al contacto entre los diferentes elementos. La matriz, el punzón y el prensa-chapa se han considerado elementos rígidos. Para la chapa metálica se ha supuesto un comportamiento elasto-plástico con endurecimiento por deformación isotrópico. En primera aproximación se ha empleado un modelo de plasticidad asociativa isótropo e independiente de la velocidad de deformación, tomando el criterio de von Mises como criterio de fluencia. Esta aproximación es apropiada siempre que la anisotropía característica de la chapa no sea muy elevada.

La Figura 2 muestra la malla empleada en una configuración genérica. Los elementos usados han sido cuadriláteros de 8 nodos (PLANE82). Dependiendo el espesor de la chapa se han empleado 4 capas de elementos para chapas de espesores inferiores a 1 mm y 5 capas para espesores de 1 mm. Las superficies en contacto se han mallado usando los pares de elementos CONTA172 y TARGE169 de ANSYS. Se supone que la fricción entre las superficies sigue un modelo de Coulomb, con un coeficiente de fricción de 0.1. La fuerza inicial ejercida por el prensa-chapa sobre la chapa se ha obtenido a partir de la conocida expresión de Siebel. Por último, se ha considerado el proceso de embutición como un problema cuasi-estático, resolviéndose de manera incremental. El criterio de convergencia establecido supone que ésta se alcanza cuando el módulo (norma Euclídea) del vector de los residuos es inferior a un 0.5% del módulo del vector de cargas exteriores.

Figura 2. Malla de elementos finitos (deformada genérica)

Como se ha mencionado en el apartado anterior, las simulaciones realizadas intentan reproducir los ensayos de embutición de Takuda et al. [1]. Dichos ensayos se efectuaron empleando tres materiales distintos: chapa de acero inoxidable 430 con espesor de 0.78 mm (Material 1), chapa de acero de alta resistencia con espesor de 1 mm (Material 2) y chapa de acero cincado de 0.7 mm de espesor (Material 3). Las propiedades mecánicas de estos materiales se muestran en la Tabla 1. Como se puede observar en dicha tabla, el coeficiente de anisotropía normal en las distintas chapas es suficientemente próximo a la unidad como para considerar aceptable, desde un punto vista ingenieril, la hipótesis de comportamiento isótropo en las simulaciones de EF.

Material	E (GPa)	su (MPa)	K (MPa)	n	r	e I,f (uniaxial)	e I,f ( def.plana)
1	210	488	829	0.20	0.81	0.595	0.336
2		672	1020	0.14	0.91	0.634	0.285
3		748	858	0.03	0.87	0.303	0.130

Tabla 1. Propiedades mecánicas de los materiales (modelo s= Keⁿ , r coeficiente de anisotropía normal )

Para cada uno de los materiales comentados, se ha simulado la embutición de chapas circulares de diferentes diámetros iniciales, evaluando el fallo o no de la misma a partir de los criterios de fractura descritos anteriormente. La Tabla 2 muestra las constantes del material para los distintos criterios. Dichas constantes se han calculado a partir de los dos valores de e_I,f de la Tabla 1, los cuales representan la deformación principal máxima de fractura obtenida respectivamente para un ensayo de tracción uniaxial pura y para un ensayo de tracción bajo condiciones de deformación plana. Por tanto, para determinar las constantes basta con particularizar cada uno de los criterios anteriores para las condiciones de ambos ensayos y despejar sus valores. En el caso de que el criterio tenga una única constante a determinar, el valor de dicha constante se corresponde con el valor medio de los obtenidos al particularizar el criterio para los dos ensayos.

	C1 (MPa)	C2	C3	C4	C5	C6(MPa)	C7	C8 (MPa)
Material 1	313.3	0.556	0.124	0.272	1.480	670.87	32.69	4407.54
Material 2	411.6	0.536	-0.070	0.167	5.240	2065.65	-8.78	-1026.06
Material 3	189.9	0.252	-0.094	0.073	4.430	836.24	-9.67	-541.13

Tabla 2. Constantes del material para los distintos criterios

Las Figuras 3, 4 y 5 muestran la Relación Limite de Embutición (RLE) predicha con los diferentes criterios para los tres materiales analizados y los cuatro radios de punzón ensayados. El valor de la integral de cada criterio se corresponde con el valor medio de dicho criterio a lo largo del espesor. De esta manera cuando dicho valor medio alcanza un valor igual a la unidad se dice que la chapa ha fallado en dicha zona. Como se puede comprobar en las citadas figuras, las estimaciones obtenidas se encuentran en razonable acuerdo con los resultados experimentales. En términos generales, se observa que los resultados numéricos sobrestiman ligeramente los resultados experimentales, siendo las diferencias máximas inferiores al 10%. Esta tendencia era de esperar en este caso, dado que es consecuencia directa de no haber considerado la anisotropía del material en las simulaciones. No obstante, las pequeñas diferencias encontradas entre valores predichos y observados, para estos materiales, justifican el uso de un modelo isótropo, como ya se había apuntado.

Una vez analizada la capacidad predictiva de los modelos propuestos, la pregunta que surge de manera natural es si dichos criterios reproducen adecuadamente el proceso físico de fallo de acuerdo con la evidencia experimental. En los ensayos de Takuda et al. el fallo se produce en la zona del radio del punzón, para todas las situaciones y materiales empleados. Se observa que inicialmente la deformación se concentra en una banda muy estrecha del orden del espesor de la chapa, lo que se conoce como estricción localizada, y que finalmente se produce la fractura del material en dicha zona. Este hecho está en perfecto acuerdo con las predicciones obtenidas por todos los modelos analizados para los materiales más dúctiles, es decir, Material 1 y Material 2.

Figura 3. Relación límite de embutición (RLE) predicho por los criterios analizados en función del ratio del punzón para el Material 1

Figura 4. Relación límite de embutición (RLE) predicho por criterios analizados en función del radio del punzón para el Material 2.

Figura 5. Relación límite de embutición (RLE) predicho por los criterios analizados en función del radio del punzón para el Material 3.

La Figura 6a presenta uno de los casos simulados, donde se muestra la evolución del valor de las integrales de los criterios (valor medio en el espesor de la chapa) en un instante cercano al fallo. Como se puede observar, el fallo se predice invariablemente en la zona donde se produce el adelgazamiento localizado del espesor de la chapa.

Figura 6a. Evolución de las integrales de los criterios y deformación en el espesor para el material 2 (resultados correspondientes a un radio del punzón rp=2 mm y radio inicial de preforma r0=42 mm

En la Figura 6b se representa la evolución de la relación en la zona de fallo a medida que baja el punzón. Se puede apreciar que al iniciarse el fallo toma valores muy próximos a 0.577 en todos los nodos, indicando que las condiciones tenso-deformacionales en la estricción son aproximadamente de deformación plana (deformación nula en dirección circunferencial). Este hecho ha sido ampliamente observado en la práctica. Se observa que la inestabilidad plástica, y con elle el fallo del material, aparece cuando las condiciones locales en la estricción son de deformación plana, independientemente del estado global de tensiones en el resto del componente (véase por ejemplo la referencia [9]). Esto indica que, para materiales dúctiles con poca anisotropía, los modelos de fractura dúctil analizados aquí predicen apropiadamente el proceso físico macroscópico que conduce al fallo de la chapa.

Figura 6b. Distribución de las tensiones en la zona de estricción en cada capa de nodos para el material 2 (resultados correspondientes a un radio del punzón rp=2 mm y radio inicial de preforma r0=42 mm

Para el Material 3, cuya ductilidad es bastante baja, el comportamiento depende del criterio empleado. Los resultados experimentales obtenidos por Takuda et al. sitúan nuevamente el fallo en la estricción localizada producida en la zona del radio del punzón. Los criterios de Oyane et al., Chaouadi et al. y el TPM predicen el fallo en perfecto acuerdo con estos resultados. Sin embargo, los modelos de Cockcroft y Latham y de Brozzo et al. predicen el fallo justo a la salida del radio de acuerdo de la matriz. No obstante, se observa que en la zona donde se produce el adelgazamiento de la chapa la integral de dichos criterios toma también valores muy elevados, siendo ésta por tanto una zona de alta probabilidad de fallo (véase Figura 7a). Esto ocurre para los radios de punzón 2, 4 y 8 mm. Para el radio 20 mm la evolución es idéntica a la de los demás criterios, prediciéndose el fallo en la zona de acuerdo base-pared de la pieza embutida.

Figura 7a. Evolución del criterios de Cockcroft y Latham y deformación del espesor para el material 3 (resultados correspondientes a un radio del punzón rp=2 mm y radio inicial de preforma r0=41 mm)

La Figura 7b muestra la evolución de la deformación en el punto donde se predice el fallo. Como se puede observar, las condiciones de deformación en dicho punto evolucionan manteniendo el espesor aproximadamente constante, esto es, . El fallo se predice, no obstante, cuando la deformación a través del espesor se homogeniza, tratándose así de un fallo típico por fractura dúctil, producida bajo condiciones de cortante puro en el plano de la chapa. Este tipo y situación de fallo, aunque estrictamente no es la observada en los ensayos analizados, aparece con relativa frecuencia en materiales poco dúctiles, como es el caso de algunas embuticiones con ciertas aleaciones de aluminio [2].

Figura 7b. Distribución de las deformaciones principales en la zona de predicción del fallo en el material 3 (resultados correspondientes a un radio del punzón rp=2 mm y radio inicial de preforma r0=41 mm)

El presente trabajo arroja las siguientes conclusiones:

• Se ha analizado la capacidad para predecir el fallo en productos de chapa conformada de diferentes criterios de fractura dúctil. Las predicciones obtenidas se ajustan muy razonablemente a los resultados experimentales obtenidos por Takuda et al. para diferentes aceros.
• Estos criterios predicen el fallo en la zona de estricción localizada cuando el estado local de tensiones alcanza las condiciones de Deformación Plana, de acuerdo con la evidencia experimental.
• Para el material menos dúctil los criterios de Cockcroft y Latham y de Brozzo et al. tienen una ligera tendencia a predecir el fallo en zonas de cortante puro (espesor constante), hecho experimentalmente observado también en algunas embuticiones realizadas con aleaciones de aluminio.
• El criterio de Trabajo Plástico Modificado propuesto muestra resultados en buena concordancia con resultados experimentales y el resto de criterios analizados.

[1] Takuda H., Fujimoto H., Kuroda Y. and Hatta N., Finite element analysis of formability of a few kinds of special steel sheets, Steel research 68, 9, 398-402, 1997.

[2] Takuda H., Mori K. and Hatta N. (1999) “The application of some criteria for ductile fracture to the prediction of the forming limit of sheet metals” J. Mater. Proc. Tech. 95, 116-121.

[3] Cockcroft M. G. and Latham D. J., Ductility and the workability of metals, J. Inst. Metals 96, 33, 1968.

[4] Brozzo P., De Luca B. and Rendina R., A New Method for the Prediction of the Formability Limits of Plastic Sheets, Proc 7th Biennial Congress of the IDDRG, 1972.

[5] Oyane M., Sato T., Okimoto K. and Shima S., Criteria for Ductile Fracture and Their Application, J. Mech. Working Tech., 4, 66-81, 1980.

[6] Chaouadi R., De Meester P. and Vandermeulen W., Damage work as ductile fracture criterion, Int. Journal of Fracture 66, 155-164, 1994.

[7] Clift S. E., Hartley P., Sturges C. E. N. and Rowe G. W., Fracture Prediction in Plastic Deformation Processes, Int. J. Mech. Sci., 32, 1-17, 1990.

[8] ANSYS User’s guide, Release 5.5, ANSYS Inc., 1998.

[9] Forming Limit Diagram: Concepts, Methods and Application, Edited by R. H. Wagoner, K. S. Chan and S. P. Keeler, The Minerals, Metals & Materials Society, Warrendale, Pennsylvania, 1989.