Control y Planificación

El presente trabajo se centra en el problema de sintetizar un mecanismo óptimo de cuatro barras del tipo manivela-balancín para la generación de una trayectoria requerida. La síntesis de mecanismos para la generación de trayectorias es en la actualidad un área activa de investigación en la que aún quedan muchos problemas cuya resolución no es del todo satisfactoria. La complejidad que conlleva la optimización en este campo se produce por la elevada no-linealidad de las ecuaciones obtenidas al traducir el problema a un modelo matemático.

Las distintas estrategias de optimización propuestas para síntesis de mecanismos se evalúan mediante múltiples simulaciones numéricas sobre una serie de curvas tipo de acoplador. La implementación se realiza en Matlab, realizando las simulaciones en un PC convencional (Pentium 4 a 1700 Mhz).

Se realiza en primer lugar un estudio analítico previo de los mecanismos del tipo manivela y balancín, determinando unas condiciones fácilmente implementables para garantizar que el espacio de diseño se reduce a aquellos mecanismos que tienen asegurada la rotabilidad y se caracterizan por valores óptimos del ángulo de transmisión. A continuación se lleva a cabo en este espacio de diseño restringido un estudio de la función de error asociada al mecanismo, lo que nos lleva a definir diferentes aproximaciones para el cálculo del ángulo inicial de la manivela. Las simulaciones numéricas muestran que una aproximación del tipo trigonométrico proporciona soluciones de gran calidad con un coste computacional muy inferior al de la búsqueda exhaustiva.

Finalmente, se implementan en el espacio de diseño ampliado diferentes métodos de optimización. Por un lado, la aproximación anteriormente propuesta combinada con un método clásico simple de optimización como es la búsqueda dicotómica. Por otro lado, se implementa un método recientemente propuesto para optimización global basado en una modificación de la aproximación Lipschitziana standard [1]. Los resultados numéricos muestran que la exactitud de la primera técnica propuesta resulta más que suficiente para aplicaciones usuales, requiriendo un tiempo de computación como media 15 veces inferior al de la aproximación Lipschitziana. Como ventaja de esta última técnica surge no sólo el hecho de que permite hallar con mayor exactitud el óptimo global, sino que además tolera la incorporación de un número indefinido de variables, por lo que puede utilizarse también en el caso en que halla que determinar la posición de las articulaciones fijas. Las simulaciones muestran que, en la resolución del problema completo, la aproximación Lipschitziana proporciona soluciones de alta calidad en tiempos de computación razonables.

Concluimos que los métodos de optimización propuestos, que no requieren el cálculo de las derivadas de la función objetivo y ni tan siquiera que ésta tenga expresión analítica, son particularmente adecuados para la síntesis de mecanismos, puesto que satisfactoriamente cumplen el objetivo de conseguir un mecanismo óptimo con un reducido coste computacional.

[1] M. Björkman y K. Holmström, Global Optimization using the DIRECT algorithm in Matlab, Advanced Modeling and Optimization, 1 ( 2), (1999), pp. 9-16.

[3] L.W. Hi, Revolutions and Evolutions in Mechanical Engineering, Proc. XXV ASME Meeting, Phoenix, 1995