Control i Planificació

El present treball se centra en el problema de sintetitzar un mecanisme òptim de quatre barres del tipus maneta-balancí per a la generació d'una trajectòria requerida. La síntesi de mecanismes per a la generació de trajectòries és en l'actualitat una àrea activa d'investigació en la qual encara queden molts problemes la resolució no és del tot satisfactòria. La complexitat que comporta l'optimització en aquest camp es produeix per l'elevada no-linealitat de les equacions obtingudes en traduir el problema a un model matemàtic.

Les diferents estratègies d'optimització propostes per a síntesi de mecanismes s'avaluen mitjançant múltiples simulacions numèriques sobre una sèrie de corbes tipus d'acoblador. La implementació es realitza en Matlab, realitzant les simulacions en un PC convencional (Pentium 4-1700 Mhz).

Es realitza en primer lloc un estudi analític previ dels mecanismes del tipus maneta i balancí, determinant unes condicions fàcilment implementables per garantir que l'espai de disseny es redueix a aquells mecanismes que tenen assegurada la rotabilidad i es caracteritzen per valors òptims de l'angle de transmissió. A continuació es porta a terme en aquest espai de disseny restringit un estudi de la funció d'error associada al mecanisme, el que ens porta a definir diferents aproximacions per al càlcul de l'angle inicial de la manovella. Les simulacions numèriques mostren que una aproximació del tipus trigonomètric proporciona solucions de gran qualitat amb un cost computacional molt inferior al de la recerca exhaustiva.

Finalment, s'implementen en l'espai de disseny ampliat diferents mètodes d'optimització. D'una banda, l'aproximació anteriorment proposta combinada amb un mètode clàssic simple d'optimització com és la recerca dicotòmica. D'altra banda, s'implementa un mètode recentment proposat per optimització global basat en una modificació de l'aproximació lipschitzianes estàndard [1]. Els resultats numèrics mostren que l'exactitud de la primera tècnica proposta és més que suficient per a aplicacions usuals, requerint un temps de computació com a mitjana 15 vegades inferior al de l'aproximació lipschitzianes. Com avantatge d'aquesta última tècnica sorgeix no només el fet que permet trobar amb més exactitud l'òptim global, sinó que a més tolera la incorporació d'un nombre indefinit de variables, pel que pot utilitzar-se també en el cas en què troba de determinar la posició de les articulacions fixes. Les simulacions mostren que, en la resolució del problema complet, l'aproximació lipschitzianes proporciona solucions d'alta qualitat en temps de computació raonables.

Concloem que els mètodes d'optimització proposats, que no requereixen el càlcul de les derivades de la funció objectiu i ni tan sols que aquesta tingui expressió analítica, són particularment adequats per a la síntesi de mecanismes, ja que satisfactòriament compleixen l'objectiu d'aconseguir un mecanisme òptim amb un reduït cost computacional.

[1] M. Björkman i K. Holmstrom, Global Optimization using the DIRECT algorithm in Matlab, Advanced Modeling and Optimization, 1 (2), (1999), pàg. 9-16.

[3] LW Hi, Revolutions and Evolutions in Mechanical Engineering, Proc. XXV ASME Meeting, Phoenix, 1995